TEOREMA DE PITAGORAS

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida, entre otras, de las que tienen nombre propio de la matemática.¹

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pitágoras

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes ${\displaystyle a\,}$ y ${\displaystyle b\,}$, y la medida de la hipotenusa es ${\displaystyle c\,}$, se formula que:

(1)${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}$

De la ecuación (1) se deducen fácilmente tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$

${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}$

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Triángulos — Resumen de convenciones de designación

Vértices	${\displaystyle {\text{A}}}$	${\displaystyle {\text{B}}}$	${\displaystyle {\text{C}}}$
Lados (como segmento)	${\displaystyle {\text{BC}}}$	${\displaystyle {\text{AC}}}$	${\displaystyle {\text{AB}}}$
Lados (como longitud)	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
Ángulos	${\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\widehat {a}}={\widehat {A}}={\widehat {BAC}}}$	${\displaystyle {\widehat {\beta }}={\widehat {b}}={\widehat {B}}={\widehat {ABC}}}$	${\displaystyle {\widehat {\gamma }}={\widehat {c}}={\widehat {C}}={\widehat {ACB}}}$

ACTIVIDADES

Un corolario o resultado inmediato del teorema de Pitágoras es poder saber el tamaño de un lado del triangulo rectángulo sabiendo los tamaños de los otros dos lados. Si tomamos en cuenta la figura

Entonces la expresión de cada lado dependiendo de los otros dos es:

c=a2+b2−−−−−−√$c=\sqrt{a^2+b^2}$

a=c2−b2−−−−−−√$a=\sqrt{c^2-b^2}$

b=c2−a2−−−−−−√.$b=\sqrt{c^2-a^2}.$

Por lo tanto podemos calcular un lado de un triangulo rectángulo, teniendo en cuenta los otros dos, como veremos acontinuación en los siguientes ejercicios resueltos.

1. Determina la longitud de la hipotenusa dado que los catetos del triangulo miden 3 m y 4 m respectivamente.
   

   Aplicando la formula de manera directa, tenemos:c=a2+b2−−−−−−√=32+42−−−−−−√=9+16−−−−−√$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}$ por lo tanto c=25−−√=5.$c=\sqrt{25}=5.$

2. Si la Hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 5 m y un cateto 3 m, ¿Cuanto mide el otro cateto?.
   

   De manera similar, podemos aplicar directamente la formula del teorema de pitágoras, por lo que:a=c2−b2−−−−−−√=25−9−−−−−√=16−−√=4.$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$

3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera esta separada 6 m de la pared. ¿A que altura esta la escalera sobre la pared?.
   

   Si observamos bien, observamos que es un sencillo calculo de un cateto disfrazado en un problema complejo, cuya solucion obtenemos directamente de:a=c2−b2−−−−−−√=100−36−−−−−−−√=64−−√=8.$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$

4. Encuentra el área del siguiente triangulo equilatero.
   

   Primero necesitamos la altura, apliquemos la formula:h=c2−b2−−−−−−√=100−25−−−−−−−√=75−−√=8.66.$h=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=\mathrm{8.66.}$ Por lo tanto el área del triangulo es b∗h2=(2∗5)∗8.662=43.30$\frac{b\ast h}{2}=\frac{(2\ast 5)\ast 8.66}{2}=43.30$

5. Encuentra el área del pentágono regular.
   

   Primero necesitamos calcular el apotema, es decir:a=c2−b2−−−−−−√=25−9−−−−−√=16−−√=4.$a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.$ Y sustituyendo en la formula del área, obtenemos: A=f∗a2=(6∗5)∗42=60.$A=\frac{f\ast a}{2}=\frac{(6\ast 5)\ast 4}{2}=60.$

VIDEOS:

- https://www.youtube.com/watch?v=ifiHSM6QhYM

- https://www.youtube.com/watch?v=6-VV3USF-AU

- https://www.youtube.com/watch?v=cxiP-rhA1Xs