SUCESIONES NUMÉRICAS

Sucesiones numéricas

4022009

 Sucesión, progresión, son términos que no nos resultan extraños.
    Por sucesión entendemos un conjunto ordenado de números reales. En cada sucesión encontraremos por tanto una serie de números, cada uno de valor distinto, y que ocupa una posición concreta.

{1; 2; 3; 4; 5;…} es una sucesión distinta a la sucesión {5; 4; 3; 2; 1;….} ya que aunque observemos los mismos valores, el orden en que se encuentran es diferente; así la primera sucesión tiene como primer término el 1, mientras que la segunda tiene como primer término el 5.

    Cada uno de los elementos que forman la sucesión, recibe el nombre de término; y cuando queremos nombrar estos valores de forma genérica, lo hacemos mediante una letra con subíndice, que nos indica la posición del término del que estamos hablando.

a_n 

    En la sucesión {2; 4; 6; 8;…} si hablamos del término a₃ estamos nombrando altercer elemento de la sucesión, cuyo valor es 6. Lo expresamos diciendo que:   a₃= 6

    Para dar a conocer las sucesiones, lo podemos hacer de tres formas:

• mostrando los términos de la sucesión {1; 3; 5; 7;…}
• mediante una frase que describa la sucesión: “El conjunto de los números naturales”
• o por medio del término general, expresión (fórmula) que permite conocer el valor de cada  elemento dependiendo de la posición que ocupa (n).   a_n = 2n-1

Ejemplos.-

• {2; 5; 8; 11;14;…}
• {-25; -30; -35; -40;…}
• 
• a_n= n²-7n+12
• “Los cubos de los números naturales”
  

Ejercicios.- Dados los cuatro valores primeros de una serie, intenta averiguar los siguientes.

1. {5; 6; 7; 8; …}
2. {1; 5; 25; 125; … }
3. {3; 4; 7; 11; …}
4. {7; 14; 21; 28; …}
5. {30; 20; 10; 0; …}
6. {10; 7; 4; 1; …}

    Introduce los valores en los casilleros, y pulsa en el botón para tener ayuda

PROGRESIONES

    Son las sucesiones que mayor interés tienen para nosotros, existen dos tipos:

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.-

    Una progresión aritmética, es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante (d) que llamamos diferencia.

    De ellas podemos decir también, que si restamos dos términos consecutivos, siempre obtenemos un mismo valor, la diferencia (d).

TÉRMINO GENERAL.-

    La fórmula que nos da el valor del término en todas las progresiones aritméticas es:

a_n = a₁+(n-1)d

siendo     a_n   el término n-esimo
                a₁  el primer  término
                n    la posición que ocupa el término
                d    la diferencia (valor  que separa a dos términos consecutivos)

Ejemplo.-
    {4; 12; 20; 28;…}                La sucesión es una progresión aritmética, ya que la diferencia (d) entre términos consecutivos es un valor constante
        12 – 4 = 8                    20 – 12 = 8                28 – 20 = 8       es decir, la diferencia d = 8

                Podríamos razonar también que cada término se obtiene sumando una cantidad  (d) constante al anterior
            12 = 4 + 8             20 = 12 + 8                   28 = 20 + 8                 

SUMA DE LOS n PRIMEROS  TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.-

    La expresión nos permite conocer la suma de todos los términos entre dos dados, y por muchos que estos sean, si conocemos el primer término (a₁) el último (a_n) y el número de términos que intervienen (n)

Ejemplo.-
    La suma de los diez primeros términos de la progresión {4; 12; 20; 28;…}, la obtenemos calculando primero el término 10

a₁₀ = a₁ + (10-1)8 = 4 + 9 . 8 = 76

S₁₀ = (4 + 76 ) . 10 / 2
S₁₀ = 400

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.-

    Una progresión geométrica, es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior multiplicando por una cantidad constante (r) que llamamos razón.

    De ellas podemos decir también, que si dividimos dos términos consecutivos, siempre obtenemos un mismo valor, la razón (r).

TÉRMINO GENERAL.-

    La fórmula que nos da el valor del término en todas las progresiones geométricas es:

a_n = a₁ r^n-1

siendo     a_n   el término n-esimo
                a₁  el primer  término
                n    la posición que ocupa el término
                r    la razón (valor que es el resultado de dividir dos términos consecutivos)

Ejemplo.-
    {2; 4; 8; 16;…}                La sucesión es una progresión geométrica, ya que al dividir dos términos consecutivos obtenemos siempre el mismo valor constante
        4 / 2 = 2                    8 / 4 = 2                16 / 8 = 2      es decir, la razón es r = 2

                Podríamos razonar también que cada término se obtiene multiplicando por una cantidad  (r) constante al anterior
            2 . 2 = 4             4 . 2 = 8                   8 . 2 = 16                

SUMA DE LOS n PRIMEROS  TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.-

    La expresión nos permite conocer la suma de todos los términos entre dos dados, y por muchos que estos sean, si conocemos el primer término (a₁), el último (a_n) y la razón (r) además del número de términos que intervienen (n), o como muestra la segunda expresión, si conocemos el primer término (a₁) la razón (r) y el número de términos que intervienen (n)

Ejemplo.-
    La suma de los diez primeros términos de la progresión {1; 2; 4; 8;…}, la podemos obtener con el primer término y conociendo la razón (r =2)

S₁₀ = (1 . 2⁹ – 1) / (2 – 1) =  511

S₁₀ = 511

SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.-

    En algunos casos podemos averiguar cual va a ser su valor de una forma sencilla. Según sea el valor de la razón, podemos hablar de tres casos:

• Si  -1 > r >1    ================–1——-0——-1=====================

    Cuando la razón tiene un valor absoluto mayor que la unidad, el resultado de sumar sus infinitos términos, es siempre infinito (∞ ).

Ejemplo.- {3; 9; 27; 81; …}                3 + 9 + 27 + 81 + … = ∞

• Si r = -1             ———————––1————————————————–

    En este caso cada uno de los términos y el que le sigue, son siempre opuestos, de ahí que la suma tendrá que ser cero (0)

Ejemplo.- {3; -3; 3; -3; …}                    3 – 3 +  3 – 3 + 3 – 3 + … = 0        lo podemos expresar  de forma genérica
                {a₁; -a₁; a₁; -a₁; …}                a₁ -a_{1 +} a₁ -a₁ + a₁ -a_{1 +…} = 0

• Si   -1 < r <1       ———————––1=====0=====1——————————–

    Cuando la razón tiene un valor absoluto menor que la unidad, el resultado lo podemos obtener mediante la expresión que conocemos , que podemos desglosar en dos sumandos, .

    Si consideramos que un valor menor que la unidad (la razón en este caso) al elevarla a las distintas potencias se va haciendo menor, podremos decir que r^∞ = 0, en cuyo caso el primero de los sumandos será también nulo, quedando la expresión:

COMPARANDO.-

• Definiciones

    Es importante que apreciemos la diferencia entre ambos tipos de progresiones, y para hacerlo nada mejor que comparar las definiciones dadas.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA	PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante (d) que llamamos diferencia.	Es una sucesión en la que cada término (menos el primero) se obtiene a partir del anterior multiplicando por una cantidad constante (r) que llamamos razón.

    Podemos observar que difieren, como definición, en un par de palabras.

• Series

Números Naturales Aritmética d=1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2Núm. Naturales Geométrica r= 2	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096

Vamos a hacer multiplicaciones “sin multiplicar”.

Tomemos dos números de la segunda fila, que deseemos multiplicar    Leamos en la primera fila los números que les corresponden Sumemos estos últimos Localicemos este número en la primera fila, y leeremos el resultado justo debajo.

2 x 8 1    3 4 16

Repite el proceso con otros dos números, p.e. multiplicar 8 x 64 = 512

Esta comparación permitio a  NEPER John (1550-1617) inventar los logaritmos.  

Tipos de sucesiones

Sucesiones convergentes

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Límite = 0

Límite = 1

Sucesiones divergentes

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...

Sucesiones alternadas

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

Convergentes

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.

Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite +∞.

Oscilantes

−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)ⁿ n

Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

a_n+1 > a_n

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

a_n+1 ≥ a_n

2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

a_n+1 < a_n

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

a_n+1 ≤ a_n

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, a_n= k.

a_n = a_n+1

5, 5, 5, 5, ...

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

a_n ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

a_n ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

a_n ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ a_n ≤ K'

Ejemplos de sucesiones

Ejemplo 1: 

a_n = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

Es creciente.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El mínimo es 1.

No está acotada superiormente.

Divergente.

Ejemplo 2: 

b_n = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n

Es decreciente.

Está acotada superiormente.

Cotas superiores: -1, 0, 1, ...

El máximo es -1.

No está acotada inferiormente.

Divergente.

Ejemplo 3: 

c_n = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

Es decreciente.

Está acotada superiormente.

Cotas superiores: 2, 3, 4, ...

El máximo es 2.

Está acotada inferiormente.

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El ínfimo es 1.

Convergente, límite = 1.

Ejemplo 4: 

d_n= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)^n-12ⁿ

No es monótona.

No está acotada.

No es convergente ni divergente.

-VIDEOS:

- https://www.youtube.com/watch?v=W0bkKBR0Q_I

-https://www.youtube.com/watch?v=9PuGPP-8M2o

-https://www.youtube.com/watch?v=N7HwsHYzeW4

-https://www.youtube.com/watch?v=xp03PRC4FaM