NUMERO E (EULER)

Número e

La constante matemática e es el único número real tal que el valor de su derivada (la pendiente de su línea tangente) en la función f(x) = ex en el punto x = 0 es exactamente 1. La función ex es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo natural o también llamado logaritmo en base e. 

El número e es uno de los números más importantes en la matemática, además de las identidades de la multiplicación y la suma del 0 y el 1, la unidad imaginaria i y π. 

El número e es llamado ocasionalmente número de Euler, debido al matemático suizo Leonhard Euler, o también constante de Neper, en honor al matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático. (e no debe ser confundido con γ, la constante de Euler-Mascheroni, a la que a veces se hace referencia como constante de Euler) 

El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo. Como e es un número trascendental, y por lo tanto es irracional, su valor no puede ser dado exactamente como un número finito o con decimales periódicos. 
Su valor aproximado por truncamiento es: 
 


Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier. No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se asume que la tabla fue escrita por William Oughtred. El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien intentó encontrar el valor de la siguiente expresión (cuyo resultado, de hecho es e): 
 

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual. 

La definición más común es la siguiente: e es el único número real cuyo logaritmo natural es 1: 

 

Lo que significa: 
 

Calcularlo

Fórmulas que contienen al número e[editar]

A continuación, se exhiben varias fórmulas que involucran de diversas formas a ${\displaystyle e}$:

${\displaystyle {\frac {1}{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}.}$ ²⁴

${\displaystyle {\sqrt {e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}.}$

${\displaystyle {\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\ddots }}}}}}}}}.}$

${\displaystyle {\sqrt {e}}-1={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

${\displaystyle 2={\frac {e^{1}}{e^{1/2}}}\cdot {\frac {e^{1/3}}{e^{1/4}}}\cdot {\frac {e^{1/5}}{e^{1/6}}}\cdot {\frac {e^{1/7}}{e^{1/8}}}\cdots ,}$

la cual se obtiene de la identidad ${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\cdots }$

${\displaystyle e+{\frac {1}{e}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

${\displaystyle e-{\frac {1}{e}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Identidad de Euler o fórmula mística de Euler

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Fórmula de Stirling:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Fórmula de Gosper:

${\displaystyle -{\frac {\pi ^{2}}{12e^{3}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right).}$

El valor de (1 + 1/n)ⁿ se aproxima a e cuanto más grande es n:

n (1 + 1/n)n 1 2.00000 2 2.25000 5 2.48832 10 2.59374 100 2.70481 1,000 2.71692 10,000 2.71815 100,000 2.71827

El valor de e también es igual a to 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ... (etc)

(Nota: "!" significa factorial)

Los primeros términos suman: 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2.718055556

Dónde

Muchas veces el número e aparece donde no se lo espera.

Por ejemplo, da el valor del interés compuesto continuo (que se usa en préstamos e inversiones):

Fórmula del interés compuesto continuo

EJEMPLOS:

VIDEOS:

- https://www.youtube.com/watch?v=Z5czpA-fyMU

- https://www.youtube.com/watch?v=MKgjf-1XcNM

- https://www.youtube.com/watch?v=yRIJww3xORE