Función definida a trozos

En matemáticas, una función segmentada (también denominada función por ,función seccionada o función definida por tramos) es una función cuya definición, (la regla que define la dependencia), llamada regla de correspondencia, cambia dependiendo del valor de la variable independiente.¹

Formalmente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio (conocidos como subdominios).

La palabra "A trozos" se usa para describir cualquier propiedad de una función definida a trozos que se cumple para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el dominio de f. Por ejemplo, una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo del dominio. En análisis convexo, la noción de la derivada puede ser reemplazada por la de partes subderivada para funciones definidas a trozos.

Definición

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera y f una función

$f:A\to B$ $f:A\to B$

definida entre ellos. Supongamos que A puede representarse como una unión de conjuntos disjuntos A_i

$A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},\quad {\mbox{ con }}A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \ \forall j\neq i$ $A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},\quad {\mbox{ con }}A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \ \forall j\neq i$

y que, para cada uno de los A_i, existe una función f_i

$f_{i}:A_{i}\to B$ $f_{i}:A_{i}\to B$

Entonces

f es una función definida a trozos si $\forall x\in A_{i}\ f(x)=f_{i}(x),\quad 1\leq i\leq n$ $\forall x\in A_{i}\ f(x)=f_{i}(x),\quad 1\leq i\leq n$ .

En otras palabras, f es definida a trozos si su regla de asignación es diferente para al menos dos valores de la variable independiente.

Notación e interpretación

Gráfica de la función valor absoluto, y = |x|.

Las funciones definidas a trozos se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a subconjuntos del dominio.

Por ejemplo, la función valor absoluto

\mathrm {abs} :\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

puede definirse así

|x|\equiv \mathrm {abs} \,(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}-x,&{\mbox{si }}&x<0\\x,&{\mbox{si }}&x\geq 0\end{array}}\right.

En este caso, el dominio fue dividido en los conjuntos

$D_{1}=\{x\in \mathbb {R} :x<0\},\quad D_{2}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}$ $D_{1}=\{x\in \mathbb {R} :x<0\},\quad D_{2}=\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}$

los cuales son disjuntos y cumplen

$D_{1}\cup D_{2}=\mathbb {R}$ $D_{1}\cup D_{2}=\mathbb {R}$

Para todos los valores de x menores que cero, la primera expresión matemática de la definición de abs(x) debe ser utilizada. Como esta expresión es –x, el signo del valor que asignamos a la variable independiente se invierte. De modo similar, para todos los valores de x mayores o iguales que cero, la segunda expresión matemática (la función x) es utilizada.

A continuación, se presenta una tabla con valores de abs(x), en algunos puntos x del dominio.

x	abs(x)	Expresión utilizada
−3	3	−x
−0.1	0.1	−x
0	0	x
1/2	1/2	x
5	5	x

En general, para evaluar una función definida a trozos en un determinado valor del dominio, seleccionamos la expresión matemática cuyo subdominio contiene el valor a evaluar.

Continuidad

Una función definida a trozos es continua en un intervalo dado si está definida por el intervalo, las expresiones matemáticas apropiadas que constituyen a la función son continuas en ese intervalo, y no hay discontinuidad en ningún punto extremo de los subdominios en ese intervalo.

La función que está a la derecha, por ejemplo, es una función definida a trozos continua en todos sus subdominios, pero no es continua en todo el dominio. Dicha función tiene un salto de discontinuidad (un agujero) en

x_{0}

QUÉ HACER

En la primera escena puedes ver la gráfica de la función definida según la fórmula

con valores iniciales de los deslizadores a = -0.5, b = 1, c = -1, es decir, la gráfica que se ve es:

La primera parte de la actividad consiste en el estudio de las propiedades fundamentales de esta función en lo referido a su dominio, continuidad, crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos.

Después analizarás cuáles han de ser los valores de los parámetros para que la función sea continua.

En la segunda parte de la actividad resolvererás ejercicios de este mismo tipo en los que tú tendrás que dibujar la gráfica.

EJEMPLOS: