DOMINIO E IMAGEN

Dominio - Imagen 

 VIDEOS: 

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-https://www.youtube.com/watch?v=8aA1MLOoAg0

-https://www.youtube.com/watch?v=g1tFKa1yg-Q

-https://www.youtube.com/watch?v=5In2DyInj7M

El conjunto de partida o el  conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente (la llamamos x), es el dominio de la función.

El conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (y o f(x)) se llama a imagen, rango o recorrido de la función, está incluido en el conjunto de llegada.

a) El dominio está determinado por {a, b, c} .   El conjunto imagen (incluído en el conjunto de llegada) es {1,2}.

b) El dominio está determinado por {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} .   El conjunto imagen es {-2, -1, 1, 2, 3, 4}.

c) El dominio está determinado por el intervalo de números reales desde el -2 al 5, se escribe: [-2;5] .   El conjunto imagen va desde el -2 al 1,5 y se escribe [-2; 1,5].

Conceptos básicos

Función: una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay ningún número que tenga más de una imagen.

Dominio de una función o campo de existencia: es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x ( variable independiente) forman el conjunto original. Gráficamente lo miramos en el eje OX (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha.

Recorrido o rango de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Gráficamente lo miramos en el eje OY (ordenadas), leyendo de abajo a arriba.

Dominio y recorrido de funciones polinómicas

Dominio

El dominio de una función polinómica son todos los números reales. Se expresa como Dom f(x)= ℜ.

No tenemos que calcular nada.

La función existe desde x = - ∞ hasta x = + ∞.

El dominio también se puede expresar así: Dom f(x)= (- ∞, + ∞)

Son funciones polinómicas las rectas, las funciones cuadráticas (parábolas) y las funciones polinómicas de grado superior

Ejemplos

Dominio y recorrido de funciones racionales

Dominio

El dominio de una función racional son todos los valores de x, excepto aquellos que me anulan el denominador.

Se expresa así: Dom f(x) = ℜ - { valores que me anulan el denominador, separados por comas}

Para calcular el dominio, igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación resultante. Si la ecuación se anula para algún valor, el dominio de la función son todos los números reales menos esos valores. Si la ecuación no tiene solución el dominio son todos los números reales.

Ejemplos

Repaso de funciones

 Conceptos básicos de funciones. Aprender a leer gráficas.

 Cálculo de dominios de funciones

Dominio y recorrido de funciones irracionales

Dominio

El dominio depende del índice de la raíz.

Índice impar: Don f(x) = ℜ

Índice par: √P(x) ⇒ P(x) ≥ 0 ⇒ radicando ≥ 0

Ejemplos

Dominio y recorrido de funciones logarítmicas

Dominio

El valor del logaritmo debe ser > 0.

No existen los logaritmos de los números negativos ni el de cero.

Se resuelven igual que las irracionales pero en vez de usar ≥ 0 usaremos > 0

Ejemplos

Ejercicios resueltos de dominios

Calcular los dominios de las siguientes funciones:

VIDEOS:

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FUNCIÓN CUADRATICA

Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax 2 + bx + c

donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax 2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta .

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos siempre una curva llamada parábola 

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática .

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ) :

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x − 5

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x , los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0 .

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo que f(x) = 0 .

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas) .

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el discriminante , ya visto en las ecuaciones cuadráticas .

Ver: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Ver: PSU: Matemática;

Pregunta 34_2010

Pregunta 18_2006

Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero , por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c) .

Veamos:

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3

 

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3

Representar la función f(x) = x² − 4x − 3

 

El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3

Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

Eje de simetría o simetría

Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría .

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.

Su ecuación está dada por:

 

Donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x , asociada a la parábola.

De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

Vértice

Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría  y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante )

EJEMPLOS:

Determinar la ecuación conocidos tres puntos[editar]

Partiendo de la forma de la ecuación:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado:

${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$

se cumplirá que:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y_{1}=ax_{1}^{2}+bx_{1}+c\\y_{2}=ax_{2}^{2}+bx_{2}+c\\y_{3}=ax_{3}^{2}+bx_{3}+c\end{matrix}}\right.}$

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.

Representando el sistema ordenado de forma convencional:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=y_{1}\\ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=y_{2}\\ax_{3}^{2}+bx_{3}+c=y_{3}\end{matrix}}\right.}$

Con lo que podemos calcular los valores de los coeficientes:

${\displaystyle a={\cfrac {\left|{\begin{matrix}y_{1}&x_{1}&1\\y_{2}&x_{2}&1\\y_{3}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}}}$

${\displaystyle ,\quad b={\cfrac {\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}&y_{3}&1\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}}}$

${\displaystyle ,\quad c={\cfrac {\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}}}$

- http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica3/ejemplos_resueltos2.html

- http://www.vitutor.com/fun/2/e_c.html

VIDEOS:

- https://www.youtube.com/watch?v=viZ5itmmq2Y

-  https://www.youtube.com/watch?v=0pUnHF1FJ2s

- https://www.youtube.com/watch?v=aaHJAWA64A4

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FUNCIÓN LINEAL

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2       Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7     Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7

Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4             Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4

Si  x= 98   entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

 Ejemplos

Representa gráficamente las siguientes funciones lineales  y = 2x  y  y = - 3x + 4

Sugerencia: Primero elabora una tabla de valores, luego ubica los pares de puntos de la tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos con una línea recta.

Los valores de x son asignados arbitrariamente o a tu gusto "te aconsejo usar valores pequeños para facilitar las operaciones" luego en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla. 

1.       y = 2x
Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

       Para x = - 2, y = 2(-2) = -4  quedando la pareja (-2 , -4)

       Para x =  1,  y = 2(1)  =  2   quedando la pareja (1 , 2)

X	y = 2x
-2	-4
-1	-2
0	0
1	2
2	4

2.       y = - 3x + 4
Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

       Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 =  7  quedando la pareja (-1 , 7)

       Para x =  2,  y = -3(2) + 4 = -2   quedando la pareja (2 , -2)

X	y = - 3x + 4
-1	7
0	4
1	1
2	-2
3	-5

Si tienes dudas de como graficar una función lineal te recomiendo estos vídeo

VIDEOS:;

-  https://youtu.be/dLNxF4SlxIw

-  https://youtu.be/L0Dvi0pdUiI

-  https://youtu.be/seDTmQMV1UQ